🎭 Rachunek Prawdopodobieństwa Dla Leniwych

Mawiam na swoich wykładach, że matematyk jest człowiekiem leniwym i unika zbędnych rachunków wszędzie tam, gdzie można. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby matematyk był dobrym rachmistrzem. Ale czy umiejętność sprawnego rachowania czyni człowieka matematykiem? Ileś lat temu wybraliśmy się z żoną na targ kupić warzywa. Przyszedł czas, kiedy sprzedawca musiał obliczyć, ile powinniśmy zapłacić. Szybko pomnożyłem $14$ przez $28$. Czyż to nie proste? Skoro $14\cdot 14=196$, a $28$ to dwa razy tyle co $14$, to razem dostaniemy $2\cdot 196$ czyli $400$ bez $8$, więc $392$. Chyba nie chodziło o złote, bardziej o grosze, czyli cenę typu $2{,}80$ i $14$ kg jakiegoś warzywa. Dla mnie bardziej interesująca jest pointa całego zdarzenia. Otóż sprzedawca pełen podziwu powiedział: nadaje się pan do handlu. Gdyby wiedział, jaki ,,komplement” mi sprawił. Do dziś się z tego śmieję. Na mojej facebookowej osi czasu znalazłem umieszczone powyżej zdjęcie. Czemu dziewczyna szuka kogoś, kto jest w stanie przeprowadzić tak koszmarne rachunki? Nawet gdybym nie był żonaty, nie pokusiłbym się. Czy dziewczyna szuka matematyka? Pewnie w swoim wyobrażeniu tak. Jakie będzie małżeństwo z matematykiem? Moja żona mawia, że spokojne to może nie, ale na pewno ciekawe. Sama matematyczką nie jest. Umiejętności potrzebne do rozwikłania zagadki dziewczyny są pseudomatematyczną ekwilibrystyką. Tej liczby nawet nie sposób ogarnąć wzrokiem. Druga sprawa to czy podana liczba istotnie jest numerem telefonu. Jeśli tak, to czy prawdziwym. Za dużo przeciw. Nie obliczam. Taką też ekwilibrystyką były moje rachunki na targowisku. Popisałem się umiejętnością sprawnego mnożenia, ale niczym więcej. Nie matematyką. Zapewne będąc matematykiem łatwiej mi dostrzec pewne regularności i z tego skorzystałem przy tych obliczeniach. Rozwiązując zagadkę dziewczyny też mógłbym użyć tych umiejętności, tylko po co? Szybkie (i bezbłędne) liczenie przynosi satysfakcję tylko na chwilę. Daleko mu do matematyki prawdziwej. Ta – jak sądzę – jest gotowością umysłu do podjęcia intelektualnego wyzwania, umiejętnością przeprowadzenia abstrakcyjnego rozumowania, wyciągnięcia poprawnego wniosku z przedstawionych przesłanek. Nie każdy rachmistrz jest w stanie to opanować. A satysfakcja z rozwiązania prawdziwie matematycznego problemu jest nieoceniona. I może trwać długo. Taką mam z mojego pierwszego wyniku naukowego, który uzyskałem w roku 1993 i który jest do dziś cytowany. Zapewniam, że treścią wspomnianego twierdzenia nie są rachunki. Koniec końców jestem jednak człowiekiem i ponadto mam ciekawość naukowca. Dlatego pierwszą moją myślą po zobaczeniu dzisiejszego obrazka było: czy aż tak trudno to obliczyć? Siądę, policzę i podam na Fecebooku wynik. Mając jednak na uwadze powyższe przemyślenia, zajmę się jednak rzeczami znacznie bardziej pożytecznymi.

I. Doświadczenia losowe Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą . nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi. W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów: Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki . Opisując to doświadczenie przyjmujemy: 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: gdzie to liczba wyrzuconych oczek. 3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to uporządkowana para: (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu) lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce) lub krócej 4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde to uporządkowana para: (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie) lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej). W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. 5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia, III. Zdarzenia Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej chodzi o to, czy należy do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek. Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych . Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Np. gdy A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6}, B - wypadła liczba oczek nie większa niż 4, B = {1,2,3,4}, C - wypadła szóstka, C = {6}. Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A. Podzbiorami są też: - zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier), - cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ). Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A. A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A. Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie. IV. Działania na zdarzeniach Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich. nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B"). O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się. nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B"). Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B. Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa. V. Definicja prawdopodobieństwa Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem: Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp. Model uogólniony Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe. Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą, A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz. Wtedy A' - wypadły same reszki. i 4. Dla każdego zdarzenia A: 5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: 6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to: 7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B": Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5. VII. Prawdopodobieństwo warunkowe Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B). Przykłady 1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)? . Można było też zastosować wzór: , , , , 2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)? Zastosujmy wzór Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że Teraz prościutko stosując wzór Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: Korzystając z tego można pójść dalej itd. Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew. VIII. Prawdopodobieństwo całkowite Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają, a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Formalnie oznacza to, że czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni . Na diagramie wygląda to np. tak Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie. Widać, że: Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy: Ogólnie, jeżeli stanowi układ zupełny zdarzeń to Uwaga. Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni W takim razie IX. Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji: a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A. Uwaga. Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’. X. Schemat Bernoulliego Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie. Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego. Przykłady schematu prób Bernolulliego 1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła a porażka jest wypadnięcie reszki 2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne", 3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki , 4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka). Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego. Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie , wynosi Przykłady 1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia: a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę, b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki, c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę. a) b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają się. Stąd dalej wynika, że c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd XI. Drzewa Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń. Przykład takiego (problemu) doświadczenia. Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą? W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych! Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem. Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią. Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ? Oczywiście to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi Jest to - oczywiście, zaszły zdarzenia . Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. . No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem. Podsumujmy krótko. zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół, krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół, węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia, gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie, prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa. Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu Oznaczamy zdarzenia: A - na kostce wypadło 6 oczek, A' - na kostce nie wypadło 6 oczek, B - wyciągnięto kulę białą, B' = C - wyciągnięto kule czarną. , lub inaczej Jeszcze jeden przykład W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna? Urna przed losowaniem: Oznaczamy zdarzenia: - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną. XII. Wzór Bayesa Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Typowe przykłady 1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? 2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A? Wzór Bayesa Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0. Wtedy dla każdego i mamy gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite) Np. na diagramie Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Rozwiązanie przykładu 1. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów, B1 - rzucono monetą prawidłową, B2 - rzucono monetą z dwoma orłami. B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma. gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły. - prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła. Drzewo dla tego doświadczenia Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez , ... Tak rozwiążemy przykład 2. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: D - urządzenie jest wadliwe, A - urządzenie kupiono od dostawcy A, B - urządzenie kupiono od dostawcy B, C - urządzenie kupiono od dostawcy C. W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo, to Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio Drzewo dla tego doświadczenia Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%).

^{8. Przegląd podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa. 9. Podstawowe nierówności probabilistyczne. 10. Prawa wielkich liczb: słabe prawo wielkich liczb, mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa. 11. Centralne twierdzenie graniczne. 12. Łańcuchy Markowa. Klasyfikacja stanów. Twierdzenie ergodyczne dla łańcuchów Markowa. 13.} ^{R. Buckminster Fuller: Historia (i tajemnica) wszechświata. Dramat D. W. Jacobs na podstawie życia, pracy i tekstów R. Buckminstera Fullera - D. W. Jacobs teatr R. U. R. - Karel Čapek utwór dramatyczny (dramat, komedia, tragedia) - REMiniscencje - Tony Fletcher muzyka | Fiction: An Alternative Biography - David Buckley biografia/autobiografia/pamiętnik R@ - Elżbieta Śnieżkowska-Bielak literatura współczesna Rabarbar - René-Victor Pilhes literatura współczesna Rabaty, premie i zwroty towarów - w podatkach i rachunkowości Inne Rabbi, który odnalazł Mesjasza - Carl Gallups literatura faktu Rabbit-Proof Fence - Doris Pilkington Garimara literatura faktu RabbitMQ Cookbook - Gabriele Santomaggio, Sigismondo Boschi informatyka i matematyka Rąbiń - Emilian Prałat historia Rabin bez głowy i inne opowieści z Chełma - Menachem Kipnis satyra Rabin i CEO. Wskazówki dla lidera biznesu XXI wieku - Thomas D. Zweifel, Aaron L. Raskin biznes, finanse Rabin Markus Jastrow i jego wizja reformy judaizmu. Studium z dziejów judaizmu w XIX wieku - Michał Galas religia Rabin rozmawia z Jezusem - Jacob Neusner religia Rabin Szymon Dankowicz (1834–1910) – życie i działalność - Alicja Maślak-Maciejewska biografia/autobiografia/pamiętnik Rabin z 84 ulicy - Warren Kozak biografia/autobiografia/pamiętnik Rabindranath Tagore. Poezje wybrane - Rabindranath Tagore poezja Rabka - praca zbiorowa turystyka, mapy, atlasy Rabka i Dolina Raby - Stanisław Pagaczewski turystyka, mapy, atlasy Rabka Zdrój i okolice. Jordanów, Spytkowice, Raba Wyżna, Nowy Targ, Mszana Dolna, Gorczański Park Narodowy. Mapa turystyczna. 1: 40 000. Compass turystyka, mapy, atlasy Rabowanie Egipcjan - Daniel Kalinowski religia Rabsztyn wczoraj i dziś - Jacek Sypień turystyka, mapy, atlasy Rabunek - Maciej Kuczyński literatura współczesna Rabunek a Prawo - Frédéric Bastiat publicystyka literacka i eseje Rabusie w sanktuarium - Andrzej Irski literatura młodzieżowa Rabusie! - praca zbiorowa interaktywne, obrazkowe, edukacyjne Racal-Redac (Mały Leksykon) - Kagan Mariusz informatyka i matematyka Race - Charles Pierre Baudelaire poezja Races of Eberron hobby Rach-ciach-ciach, czyli pchamy, pchamy! - Krzysztof Wyrzykowski, Tomasz Jaroński biografia/autobiografia/pamiętnik Rachab - Debora Sianożęcka religia Rachab - Francine Rivers historyczna Rachab. Odnajdź swoje miejsce w rodowodzie Jezusa - Debora Sianożęcka filozofia i etyka Rachatłukum - Jan Wolkers literatura współczesna Rachel Khoo's Kitchen Notebook - Rachel Khoo kulinaria, przepisy kulinarne Rachel's Shoe - Peter Lihou literatura współczesna Rachela Auerbach, Pisma z getta warszawskiego - Karolina Szymaniak biografia/autobiografia/pamiętnik Rachmaninow - Mikołaj Bażanow biografia/autobiografia/pamiętnik Rachmaninow - symfonik nieznany. Związki intertekstualne w twórczości symfonicznej Sergiusza Rachmaninowa - Iwona Hanna Świdnicka muzyka Rachuba świata - Daniel Kehlmann literatura współczesna Rachunek - Bogdan Nurzej literatura współczesna Rachunek - Jonas Karlsson literatura współczesna Rachunek - Jonas Karlsson literatura współczesna Rachunek - Marek Nowakowski poezja Rachunek błędów dla inżynierów - Zbigniew Kotulski, Wojciech Szczepiński technika Rachunek dla dorosłego - Jan Twardowski poezja Rachunek efektywności inwestycji - Waldemar Rogowski biznes, finanse Rachunek efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych - Waldemar Rogowski biznes, finanse Rachunek efektywności rzeczowych przedsięwzięć inwestycyjnych - Lesław Martan biznes, finanse Rachunek efektywności systemu informacyjnego rachunkowości - Adam Bujak biznes, finanse Rachunek kosztów działań sterowanych czasem - Robert S. Kaplan, Steven R. Anderson biznes, finanse Rachunek kosztów i rachunkowość zarządcza - Irena Sobańska biznes, finanse Rachunek kosztów i rachunkowość zarządcza. Pojęcia, problemy, zadania - Anna Karmańska biznes, finanse Rachunek kosztów i wyników w przedsiębiorstwie. Zbiór zadań z rozwiązaniami - Jerzy Kuchmacz biznes, finanse Rachunek kosztów i wyników. Wybrane problemy podejmowania decyzji zarządczych - Jan Turyna, Beata Pułaska-Turyna biznes, finanse Rachunek kosztów jakości - Marlena Ciechan-Kujawa biznes, finanse Rachunek kosztów logistyki w zarządzaniu przedsiębiorstwem - Robert Kowalak, Michał Biernacki biznes, finanse Rachunek kosztów przedsiębiorstwa - Edward Nowak biznes, finanse RACHUNEK KOSZTÓW W JEDNOSTKACH GOSPODARCZYCH PODEJŚCIE - Edward Nowak biznes, finanse Rachunek kosztów w zarządzaniu jednostkami badawczo-rozwojowymi - Agnieszka Nóżk biznes, finanse Rachunek kosztów w zarządzaniu przedsiębiorstwem biznes, finanse Rachunek kosztów, podejście operacyjne i strategiczne - Irena Sobańska biznes, finanse Rachunek kosztów, podstawy rachunkowości zarządczej i zarządzania finansami - Małgorzata Trentowska biznes, finanse Rachunek kosztów. Wybrane zagadnienia w teorii i przykładach nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunek naszych słabości - Andrzej Kijowski publicystyka literacka i eseje Rachunek opłacalności inwestowania - Edward Nowak biznes, finanse Rachunek pamięci publicystyka literacka i eseje Rachunek prawdopodobieństwa - Wiesław Szlenk informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa - Wiesław Szlenk informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego - Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych, zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów - Włodziemierz Łenski, Andrzej Patkowski informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych - Sabina Denkowska, Monika Papież informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. I informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. II informatyka i matematyka Rachunek przepływów pieniężnych - Paweł Pabianiak biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych - Waldemar Gos biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych obrazuje kondycję przedsiębiorstwa - Katarzyna Trzpioła dr biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w praktyce - Marek Lachmirowicz biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w teorii i praktyce - Karol Wajszczuk biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w teorii i praktyce. Program komputerowy Cash Flow System - Karol Wajszczuk Inne Rachunek przetrwania - Barbara Wiza, Janusz Wiza biografia/autobiografia/pamiętnik Rachunek różniczkowy i całkowy - Franciszek Leja informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej - Kazimierz Kuratowski informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych - Franciszek Leja informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 1 - Stefan Banach informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 2 - Stefan Banach informatyka i matematyka Rachunek rózniczkowy i całkowy, tom 3 - Grigorij Fichtenholz informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom III - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej - Kazimierz Kuratowski informatyka i matematyka Rachunek skupienia - Agnieszka Złota poezja Rachunek sumienia - Igor Kozak religia Rachunek sumienia - Józef Kozłowski SJ religia Rachunek sumienia - Piotr Piątak literatura współczesna Rachunek sumienia - szczegółowy i ogólny. Jak codziennie ulepszać siebie, relacje z Bogiem i drugim człowiekiem - Krzysztof Osuch SJ religia Rachunek sumienia dla dorosłych - Bonifacy Knapik religia Rachunek sumienia dla dorosłych - Lech Kontkowski, George A. Aschenbrenner religia Rachunek sumienia dla dzieci - Jan Paszulewicz ks. religia Rachunek sumienia dla młodzieży - Zbigniew Paweł Maciejewski ks. religia Rachunek sumienia Jak codziennie ulepszać siebie, relacje z Bogiem i drugim człowiekiem - Krzysztof Osuch SJ religia Rachunek sumienia z mistrzami chrześcijańskiej duchowości - Michał Wilk religia Rachunek sumienia z Ojcem Pio - Robert Krawiec religia Rachunek sumienia. Poradnik dla spowiadających się. - Marko Ivan Rupnik religia Rachunek wyników - Edward Nowak biznes, finanse Rachunek zbrodni - Edmund Męclewski historia Rachunek zemsty - Sam Bourne literatura współczesna Rachunek zysków i strat - Ewa Dreliszak, Dorota Kania biznes, finanse RACHUNEK zYSKóW I STRAT - Irena Kondratowicz biznes, finanse Rachunki geodezyjne - Stefan Hausbrandt technika Rachunki włóczęgi - Jarosław Iwaszkiewicz publicystyka literacka i eseje Rachunkowoać finansowa Kompendium wiedzy - Anna Kuzior, Małgorzata Rówińska biznes, finanse Rachunkowość zasady prowadzenia według znowelizowanych regulacji krajowych i międzynarodowych cz. II - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość + CD - Wioletta Turowska, Adam Węgrzyn nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Rachunkowość 2008. Meritum - praca zbiorowa biznes, finanse Rachunkowość a zintegrowane zarządzanie przedsiębiorstwem - Edward Nowak, Adriana Kaszuba-Perz biznes, finanse Rachunkowość bankowa - Maria Niewiadoma, Danuta Mińska biznes, finanse Rachunkowość Bankowa - Zygmunt Miętki biznes, finanse Rachunkowość bankowa po zmianach - Włodzimierz Wąsowski, Ewa Popowska biznes, finanse Rachunkowość bankowa. Podręcznik - Kira Jankowska, Kazimierz Baliński biznes, finanse Rachunkowość budżetowa 2005 zbiór przepisów z wprowadzeniem - Halina Gajoch biznes, finanse Rachunkowość część 1 - Anna Kuczyńska-Cesarz biznes, finanse Rachunkowość dla ciebie Podstawy rachunkowości - Piotr Szczypa biznes, finanse Rachunkowość dla ciebie rachunkowość od podstaw biznes, finanse Rachunkowość dla menadżerów - Wiesław Janik biznes, finanse Rachunkowość dla menedżerów biznes, finanse Rachunkowość Finansowa Zbiór Zadań - Maria Kiedrowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa - Elżbieta Kalwasińska, Danuta Maciejowska biznes, finanse Rachunkowość Finansowa - Jan Turyna biznes, finanse Rachunkowość finansowa - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość finansowa aktywów kompetecyjnych i kapitału intelektualnego. Nowy dział rachunkowości - Lesław Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość finansowa i podatkowa - T. Cebrowska poradniki Rachunkowość finansowa i podatkowa - Teresa Cebrowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw - Józef Aleszczyk biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach - Teresa Moss, Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach 2 - Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach z rozwiązaniami - Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw handlowych. Obrót kra - Teresa Martyniuk biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw po przystąpieniu Polski do Wspólnoty Europejskiej - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw według polskiego prawa bilansowego oraz Dyrektyw UE i MSR MSSF Część I - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach według ustawy o rachunkowości i MSR. Wydanie 1 - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach według ustawy o rachunkowości i MSR. Wydanie 2 - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała biznes, finanse Rachunkowość finansowa w teorii i praktyce - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość finansowa w zadaniach i przykładach - Elżbieta Marcinkowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa z elementami rachunku kosztów i sprawozdawczości finansowej biznes, finanse Rachunkowość finansowa z uwzględnieniem MSSF biznes, finanse Rachunkowość finansowa z uwzględnieniem MSSF - Józef Pfaff Inne Rachunkowość finansowa. Aktywa trwałe, koszty działalności i ich rozliczenie, kalkulacja kosztów - Bożena Padurek, Małgorzata Szpleter Literatura popularnonaukowa Rachunkowość Finansowa. Część III. Produkty pracy i ich sprzedaż, obrót towarowy, inwentaryzacja, źródła finansowania zasobów majątkowych, pozostała działalność operacyjna, działal. biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Materiały pomocnicze do wykładów i ćwiczeń - Maria Kiedrowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Podręcznik. Ujęcie sprawozdawcze i ewidencyjne - Ewa Walińska biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Przewodnik ćwiczeniowy - Ireneusz Wieczorek biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wybrane zagadnienia biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wydanie 1 - Anna Karmańska, Maria Gmytrasiewicz biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wydanie drugie zaktualizowane i rozszerzone - Anna Karmańska biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Zbiór zadań. - Maria Gmytrasiewicz biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Zbiór zadań. Ujęcie sprawozdawcze i ewidencyjne - Ewa Walińska biznes, finanse Rachunkowość fundacji, stowarzyszeń i innych jednostek nieprowadzących działalności gospodarczej - Kazimiera Winiarska biznes, finanse Rachunkowość fundacji, stowarzyszeń i organizacji pożytku publicznego - Wioletta Dworowska biznes, finanse Rachunkowość grup kapitałowych - Marzena Remlein biznes, finanse Rachunkowość handlowa. Część 1 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość handlowa. Część 2 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość handlowa. Część 3 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość i analiza ekonomiczna w indywidualnym gospodarstwie rolnym - Lech Goraj, Stanisław Mańko biznes, finanse Rachunkowość i analiza finansowa dla inżynierów - Bożena Nadolna technika Rachunkowość i budżetowanie w zarządzaniu finansami gminy - Marian Walczak, Magdalena Kowalczyk biznes, finanse Rachunkowość i finanse grupy kapitałowej - Jan Turyna, Jan Rak biznes, finanse Rachunkowość i finanse podmiotów gospodarczych - Tomasz Piątek, Bernacki Andrzej biznes, finanse Rachunkowość i finanse podmiotów gospodarczych w erze informacji - Wiesława Caputa biznes, finanse Rachunkowość i podatki w instytucjach kultury - Ewa Ostapowicz nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa według polskiego prawa bilansowego - Elżbieta Kalwasińska, Danuta Maciejowska Inne Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa zakładów opieki zdrowotnej - praca zbiorowa biznes, finanse Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa. Meritum - Ewa Walińska nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa. Zbiór ćwiczeń oraz schematy ewidencji operacji gospodarczych - Kazimierz Grygutis biznes, finanse Rachunkowość i zarządzanie kapitałem intelektualnym. Koncepcje i praktyka - Alicja JarugowaJustyna Fijałkowska biznes, finanse Rachunkowość instrumentów finansowych biznes, finanse Rachunkowość jednostek budżetowych i gospodarki pozabudżetowej - Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość jednostek oświatowych 2016 - Świderek Izabela biznes, finanse Rachunkowość jednostek sektora finansów publicznych i instytucji finansowych - Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość Kurs podstawowy - Edward Nowak biznes, finanse Rachunkowość leasingu na tle regulacji - Mikołaj Turzyński biznes, finanse Rachunkowość majątku i kapitałów przedsiębiorstwa problemy wybrane - Ryszard Kamiński biznes, finanse Rachunkowość małych firm - Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość małych firm według wymogów funduszy unijnych - Marcin Osikowicz biznes, finanse Rachunkowość małych i średnich przedsiębiorstw 2009 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość małych przedsiębiorstw - Kazimierz Sawicki, Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość międzynarodowa - Jerzy Gierusz, Lech Bednarski biznes, finanse Rachunkowość można zrozumieć - Jarosław Tuczko biznes, finanse Rachunkowość na tle rozwiązań międzynarodowych - Ewa Radawiecka, Monika Foremna-Pilarska biznes, finanse Rachunkowość na tle rozwiązań międzynarodowych. Wydanie 2 - Ewa Radawiecka, Monika Foremna-Pilarska biznes, finanse Rachunkowość nie tylko dla księgowych - Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość od podstaw zbiór rozwiązań - Danuta Małkowska biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Danuta Małkowska biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Dorota Dobija biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Jan Matuszewicz biznes, finanse Rachunkowość od podstaw. Zbiór zadań z komentarzem z rozwiązaniami - Danuta Małkowska biznes, finanse Rachunkowość odpowiedzialności społecznej w kształtowaniu zasad nadzoru korporacyjnego - Gabrusewicz Tomasz nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.)} Назва предмета: Stochastyka dla nauczyciela : rachunek prawdopodobieństwa, kombinatoryka i statystyka matematyczna jako matematyka in statu nascendi ^{Record page New items Collections History Help Account (login) Contrast: Font size: Biblioteka Pedagogiczna w Tarnowie Katalog zbiorów Zawartość czasopism Advanced search Simple search Advanced search Simple search á â ă ä ç č ď đ é ë ě í î ľ ĺ ň ô ő ö ŕ ř ş š ţ ť ů ú ű ü ý ž ® € ß Á Â Ă Ä Ç Č Ď Đ É Ë Ě Í Î Ľ Ĺ Ň Ô Ő Ö Ŕ Ř Ş Š Ţ Ť Ů Ú Ű Ü Ý Ž © § µ Chosen: 139998 Book In basket rate Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych : zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów. / Włodzimierz Łenski, Andrzej Patkowski. ; Irena Gawron (red.). - Wyd. 1. - Warszawa; Poznań : Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997. - 203 [5] s. : rys., tab. ; 21 cm. Temat: Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia - zadania Autor: Łenski Włodziemierz ; Patkowski Andrzej ; Gawron Irena zob. Availability: Bochnia wypożyczalnia There are copies available to loan: sygn. 23 988 (1 egz.) Reviews: No reviews View: Report: Also derive: shelf marks IDs subject headings location summary ISBN number sort key adres wersji elektronicznej copies localization opis fizyczny Report sorting: Sortowanie pozycji zestawienia: Sortowanie pozycji zestawienia: The item has been added to the basket. If you don't know what the basket is for, click here for details. Do not show it again}

Rachunek Prawdopodobieństwa - Matematyka - Podręczniki do szkoły średniej - klasa 4 - liceum i technikum ☝ Darmowa dostawa z Allegro Smart - Najwięcej ofert w jednym miejscu ⭐ 100% bezpieczeństwa każdej transakcji.

Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami, które są konsekwencją doświadczeń losowych. Tyle definicja, a co rachunek prawdopodobieństwa daje nam w praktyce? Rachunek prawdopodobieństwa – dlaczego warto go znać? / fot. materiał prasowy Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami, które są konsekwencją doświadczeń losowych. Tyle definicja, a co rachunek prawdopodobieństwa daje nam w praktyce? Rachunek prawdopodobieństwa – dlaczego warto go znać? / fot. materiał prasowy Jak zostać rekinem finansjery Inwestowanie na giełdzie wymaga sporej wiedzy ekonomicznej, nieco szczęścia i… znajomości rachunku prawdopodobieństwa. Większość inwestorów stara się znaleźć ten jeden skuteczny system, dzięki któremu straty będą minimalne. Akcje można kupować w ciemno, kierując się wyłącznie intuicją albo na podstawie rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Oczywiście, rynki finansowe są zależne od tak wielu czynników, że nie da się ze stuprocentową pewnością stwierdzić, że najbardziej prawdopodobne wydarzenie stanie się faktem. Zwłaszcza że w grę wchodzą jeszcze tak nieprzewidywalne czynniki jak klęski żywiołowe, manipulacje inwestorów, wybuch wojny, etc. Jednak na bazie rachunku prawdopodobieństwa udało się stworzyć kilka systemów transakcyjnych, które może nie gwarantują ciągłego, wysokiego zysku, ale osiągają całkiem niezłe wyniki. Kto wygra Champions League? Zakłady bukmacherskie zawsze niosą ze sobą ryzyko przegranej, jednak doświadczeni gracze potrafią to ryzyko minimalizować na podstawie szczegółowych analiz poprzednich wyników. I rachunku prawdopodobieństwa, bo wiele sportowych wydarzeń można z większym bądź mniejszym prawdopodobieństwem przewidzieć. Najczęściej stosowanym systemem w bukmacherce jest progresja. Obstawiamy określony typ zakładów (np. remis w piłce nożnej), w przypadku przegranej zwiększamy stawkę i gramy tak do skutku. Ale znowu – rachunek prawdopodobieństwa przybliża nas do sukcesu, jednak go nie zapewnia, bo w sporcie nie da się wykluczyć nieprzewidywalnego czynnika ludzkiego: klub może stracić wskutek kontuzji najlepszego zawodnika, tenisista pokłóci się rano z żoną albo sportowca przytłoczy zwykła trema. Gry losowe to nie tylko łut szczęścia Mówi się, że ruletka to gra wybitnie losowa, ale czy na pewno? Miłośnicy takiej rozrywki są przekonani, że kilka powszechnie stosowanych systemów gry (np. zasada Martingale) jest w stanie zapewnić im wygraną. Systemy wymagają wprawdzie większej gotówki, bo gracz musi być przygotowany na „czarną serię” strat, ale w ogólnym rozrachunku system przyniesie upragniony zysk. Najczęściej jednak ruletka ma niewiele wspólnego z logiką i gra na nosie rachunkowi prawdopodobieństwa – to z definicji gra, w której przewaga jest zawsze po stronie kasyna. Trochę inaczej jest z blackjackiem. W tej grze faktycznie można wykorzystać wyliczenia matematyczne i ograć kasyno, ale w praktyce ta sztuka uda się tylko nielicznym. Dlaczego? Jak wiadomo, w kasynie nie można korzystać z kalkulatorów i jakichkolwiek materiałów pomocniczych, a liczenie w pamięci kart to zadanie dla matematycznych geniuszy. Jeśli zapamiętamy wszystkie schodzące karty, możemy z dużym prawdopodobieństwem wyliczyć, co w kolejnym rozdaniu pojawi się na stole. Blef, a może zwykła matematyka? W grze w pokera nie mamy wpływu na to, jakie dostaniemy karty. A jednak są gracze, którzy nawet z kiepskiej ręki potrafią wyjść na swoje i to wcale nie dzięki blefowaniu. Nie mają też jakiegoś niebywałego szczęścia, po prostu szybko potrafią wyliczyć najbardziej prawdopodobny scenariusz przy konkretnym rozdaniu. Doświadczeni pokerzyści umiejętnie wykorzystują dostępne informacje i są za pan brat z rachunkiem prawdopodobieństwa – dzięki temu są w stanie ocenić realną siłę swojej ręki, przewidzieć, jakie karty mogą mieć rywale i blefować z dużo większym powodzeniem. Rachunek prawdopodobieństwa 4 Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero i w których na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste. 5 Oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 5, w których zapisie występują tylko cyfry 0, 1, 3, 5 Home Książki Informatyka, matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych, zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów Książka, powstała w wyniku wieloletniej pracy z uczniami i studentami, zawiera w czterech rozdziałach cały kurs rachunku prawdopodobieństwa w postaci zadań wraz z komentarzami, objaśnieniami i rozwiązaniami. Ostatni, piąty rozdział to wybór zadań naturalnych z 1995 roku, z różnych województw, także rozwiązanych i skomentowanych. Zamierzeniem autorów było przełożenie na język akceptowany przez uczniów tajemnic działu matematyki sprawiającego wiele trudności. Indywidualne, odbiegające od tradycyjnego, szkolnego podejście do niektórych zadań, może zainteresować uczniów klas o profilu matematyczno-fizycznym oraz studentów matematyki wyższych szkół pedagogicznych i uniwersytetów. Porównywarka z zawsze aktualnymi cenami W naszej porównywarce znajdziesz książki, audiobooki i e-booki, ze wszystkich najpopularniejszych księgarni internetowych i stacjonarnych, zawsze w najlepszej cenie. Wszystkie pozycje zawierają aktualne ceny sprzedaży. Nasze księgarnie partnerskie oferują wygodne formy dostawy takie jak: dostawę do paczkomatu, przesyłkę kurierską lub odebranie przesyłki w wybranym punkcie odbioru. Darmowa dostawa jest możliwa po przekroczeniu odpowiedniej kwoty za zamówienie lub dla stałych klientów i beneficjentów usług premium zgodnie z regulaminem wybranej księgarni. Za zamówienie u naszych partnerów zapłacisz w najwygodniejszej dla Ciebie formie: • online • przelewem • kartą płatniczą • Blikiem • podczas odbioru W zależności od wybranej księgarni możliwa jest także wysyłka za granicę. Ceny widoczne na liście uwzględniają rabaty i promocje dotyczące danego tytułu, dzięki czemu zawsze możesz szybko porównać najkorzystniejszą ofertę. papierowe ebook audiobook wszystkie formaty Sortuj: Podobne książki Oceny Średnia ocen 0,0 / 10 0 ocen Twoja ocena 0 / 10 Cytaty Powiązane treści BMOFv.

vhl12ftjjx.pages.dev/1

vhl12ftjjx.pages.dev/50

vhl12ftjjx.pages.dev/49

vhl12ftjjx.pages.dev/59

vhl12ftjjx.pages.dev/32

vhl12ftjjx.pages.dev/15

vhl12ftjjx.pages.dev/88

vhl12ftjjx.pages.dev/44

rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych